一只青蛙跳出来的分治法、回溯法与动态规划

从2018年7月份开始，基础薄弱的我从0开始刷LeetCode题目。目的性很明确，也很简单——就是为了提高解决问题的思考实践能力，也为了提升自己的核心竞争力。也许，牛人会觉得这并不算什么竞争力。是的，我同意的。但，这是我目前能做的比较基础的事情罢了。

迄今（2018年12月28日）为止，已经刷了108道题目。顺序基本上是按照出现的频率（Frequency）来刷的，这个频率在LeetCode上需要订阅后才可以看得到。那么在刷了108道题目后，有那么一些题目会觉得“似曾相识”了，也会有一种触类旁通的感觉了。所以，我觉得应该适当放慢刷题的速度，同时做做总结了。

所以，计划了一项视频解说计划，在YouTubeh和B站都建立了《小旭解说算法之路》的频道，欢迎订阅，多多提建议。

那么，进入正题。经过了108道题的历练之后，我来说说对于分治法、回溯法和动态规划的理解。

我觉得他们三者是一个相互有交集的概念，并不是相互完全独立的。至于为什么不是完全独立的，在分别说说这三种方法的解决思路后，我们再终结一下。

分治法（Divide and Conquer）

分治法是解决规模庞大的问题的很好的思路，他通过降低问题的规模，形成若干个规模更小但形式相同的子问题，进行递归求解。在求解过后，将各个子问题的解合并起来，形成原问题的解。

那么它的大致流程主要分成三步：

分解（Divide）将大规模的问题分解成若干个规模更小但形式相同的子问题
解决（Conquer）如果当前问题的规模足够小，并可以直接解决的话，那么直接解决并返回解。否则，继续进行分解并递归求解分解后的子问题。
合并（Merge）将各个子问题合并，最终形成原问题的解。

所以，明确了三步之后，还要明确一件事件——实现方式：递归法。

分治法一般来说会采用递归法来进行实现，当然，利用迭代法（比如for、while）也是可以的。

所以，我们往往看到的递归算法从广义上来说都是分治法。无非就是有些递归算法将问题分解了若干个子问题，然而有些递归算法将问题分解成了一个子问题。那么有些作者会称作前者是分治法，后者是减治法。

其实，这个概念真的非常非常重要。在面对很多问题的时候，都可以用这种思路去思考。那么其中思考的一个非常重要的一点就是递归算法中的边界（跳出）条件的判定。

只要，我们想明白了求解子问题过程中的边界条件，那么问题就会很清晰，并且很容易写出程序来。否则，模糊的边界条件，会导致整个递归算法进入到“死循环”的尴尬地步。

举个例子

青蛙🐸跳台阶的问题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

那么如果我们用分治法的思路思考的话，这道题真是非常非常容易理解。

首先，当青蛙在面对第一个台阶时，他只有两种选择——跳一步还是跳两步。如果我们定义f(n)代表青蛙跳跃到n层台阶一共的方法数，那么我们可以将问题进行分解两个规模更小，但形式相同的问题：

f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)

其中f(n – 1)是青蛙选择跳一步后，剩下的子问题，同理f(n – 2)是青蛙选择跳两步后剩下的子问题。这样，我们就把问题进行了分解。

下面再谈谈如何解决，正如上面谈到的解决步骤，如果规模足够小那么直接返回，否则继续降低规模进行递归求解。这时，就是我们要确定边界条件——即当n = 1 和n = 2时的情况。

在明确了边角条件后，合并就非常的简单，也就是简单的相加即可了。

那么代码写出来是什么样子呢？

#include <iostream>                                                                                                                
                                                                                                                                   
using namespace std;                                                                                                               
                                                                                                                                   
int f(int n) {                                                                                                                     
    // 边界条件（解决）                                                                                                            
    if (n < 1) return 0; // 当台阶数目小于1时，那么就返回0种方案数量                                                               
    if (n == 1) return 1; // 当台阶数目为1时，问题的规模已经足够小，我们可以直接想出他的方案数量—— 即1种：1步                      
    if (n == 2) return 2; // 当台阶数目为2时，他的方案数量为2种，即—— 1步+1步，2步                                                 
    return f(n - 1) + f(n - 2); // 分解并合并                                                                                      
}                                                                                                                                  
                                                                                                                                   
int main() {                                                                                                                       
    cout<<f(4)<<endl;                                                                                                              
    return 0;                                                                                                                      
}

回溯法（Backtracking）

回溯法，我理解应该也可以叫做深度优先搜索（Depth-First Search）。所以，他是一种搜索算法。

既然谈到搜索，往往这里面会面临选择的情景。以那个青蛙为例，当面对第一个台阶时，他有两个选择。当他选择一种选择后，将“义无反顾”的一条道走下去，每层都会进行一次选择，直到走到地n层位置时。这时，青蛙已经触碰到了边界，并得到了一种方案，之后青蛙会返回到最近的上一次选择时的情景，选择第二种情况继续走下去。以此往复，直到搜索全部的情景。

是的，这非常的抽象。我们来看看用二叉树来描述运动轨迹是怎么样的。我们假设n = 3。

颜色

蓝色代表当前搜索路走过的路径节点
白色代表没有搜索走过的节点
红色代表已经搜索过的节点，不可以再走

左右子树

左子树代表走一步
右子树代表走两步

回溯

如下图中红框标记的位置就是回溯到某一个情况。

如果你理解了下图的运动轨迹，我想差不多对于回溯的搜索过程就基本了解了。所以，你可以找到其他回溯点么？

理解了上图的运动轨迹后，那么，代码是什么样子呢？

#include </iostream><iostream>                                                                                                                
                                                                                                                                   
using namespace std;                                                                                                               
                                                                                                                                   
/**                                                                                                                                
 * int count 方案总数                                                                                                              
 * int target 目标—— 剩余的台阶数                                                                                                  
 */                                                                                                                                
void dfs(int& count, int target) {                                                                                                 
    // 边界条件                                                                                                                    
    if (target < = 2) {                                                                                                             
        count += target; // 当剩余一个台阶是即累加一种方案，剩余两个台阶时累加两种方案                                             
        return;                                                                                                                    
    }                                                                                                                              
                                                                                                                                   
    // 下面是两个基本点选择一步和选择两步                                                                                          
    // 选择一步                                                                                                                    
    dfs(count, target - 1);                                                                                                        
                                                                                                                                   
    // 选择两步                                                                                                                    
    dfs(count, target - 2);                                                                                                        
}                                                                                                                                  
                                                                                                                                   
int main() {                                                                                                                       
    int count = 0;                                                                                                                 
    dfs(count, 4);                                                                                                                 
    cout<<count<<endl;                                                                                                             
    return 0;                                                                                                                      
}

边界条件

剩余一个台阶时，累加一种方案
剩余两个台阶时，累加两种方案

再说更重要的选择的两个基本点

选择走一步
选择走两步

以此进行递归搜索（深度优先搜索DFS），在搜索到边界时进行回溯，以此往复直到搜索到所有情况为止。

动态规划（Dynamic Programming）

动态规划有两个重要的基本性质

最优子结构

如果一个问题的最优解包含了其中子问题的最优解，那么称其具有最优子结构的性质。

什么意思？青蛙在面对n个台阶时的解决方案数是f(n)，那么我们知道f(n) = f(n – 1) + f(n – 2)。其中的f(n – 1)与f(n – 2)就是两个子问题的最优解，此时我们可以理解成一个问题的最优解包含了其子问题的最优解，那么这个时候这种问题具有了最优子结构性质。

重叠子问题

这个性质，在我理解是对于上文提到的子问题的补充说明。当解决一个问题时，往往需要依赖于其更小规模的子问题的解，甚至是同时依赖于若干个规模更小的子问题的解，即子问题是被（重复）包含于比其更大的问题中的，所以他是具有重叠子问题的性质。

在这里，多提出一句，这个子问题是在解决当前问题时需要依赖的。即，只有计算了子问题，父问题才可能被求解。这是和贪心算法的重要区别所在。

状态转移方程

dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

i代表当前问题的规模，即所需要跳过的台阶数。
dp[i]代表的是跳过i个台阶的方案数量

其实，看到这里我们会发现，根据动态规划和分治法的思路，其解决方案大致是一样的，这一点从其递归关系式和状态转移方程可以看出来。这也是我在前文说到的，分治法与动态规划有交集的一种情况的具体体现。

那么，实现动态规划的方式一共有两种

递归法
迭代法

其中递归法与分治法的解法是一样的，那么我们用迭代法来实现动态规划的思路。

#include </iostream><iostream>                                                                                                                
#include <vector>                                                                                                                  
                                                                                                                                   
using namespace std;                                                                                                               
                                                                                                                                   
                                                                                                                                   
int main() {                                                                                                                       
    int n = 4;                                                                                                                     
    vector<int> dp(n + 1, 0);                                                                                                      
    dp[1] = 1;                                                                                                                     
    dp[2] = 2;                                                                                                                     
    for (int i = 3; i < = n; ++i) {                                                                                                 
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];                                                                                             
    }                                                                                                                              
    cout<<dp[n]<<endl;                                                                                                             
    return dp[n];                                                                                                                  
}